Pour commencer, on peut remarquer que toutes les courbes proposées sont des droites passant par l'origine. Elles correspondent donc bien à des fonctions linéaires.
De même, les 3 fonctions proposées sont bien des fonctions linéaires (toutes avec une expression de la forme \(x \mapsto ax\)).

On peut procéder par calcul, par lecture directe ou par élimination.

Commençons par comparer les droites:

• la droite qui monte le plus vite est la droite bleue \((d_2)\), c'est elle qui doit correspondre à la pente la plus forte, donc à la fonction \(f\) qui a une pente de 2
• ensuite vient la droite orange \((d_3)\) qui monte aussi mais avec une pente plus faible, elle correspond donc à la fonction \(g\) qui a une pente de 0,5
• et enfin, la droite verte descend, c'est donc la seul a avoir une pente négative et à pouvoir correspondre à la fonction \(h\) qui a une pente de -4

Par calcul, on voit clairement que:

• Pour la droite \((d_1)\) l'image de -1 est 4 et la solution de \(-1 \times ... = 4\) est -4. Donc forcément on en conclue qu'elle représente \(h:x\mapsto -4x\)
• Pour la droite \((d_2)\) l'image de 1 est 2, l'image de 2 est 4. Bref, elle correspond à une fonction qui multiplie par 2 donc à \(f:x\mapsto 2x\)
• Pour la droite \((d_3)\) l'image de 2 est 1, elle correspond à une fonction qui multiplie par \(\frac{1}{2}=0,5\) donc à \(g:x\mapsto 0,5x\)

Ces conclusions pourraient aussi être tirées de l'observation de l'image de 1 pour chaque courbe ou du calcul de la pente entre deux points d'une droite (mais nous verrons ça plus tard).

1. a. L'image de 4 par la fonction \(g\) est 2.
   (le 4 se trouve sur l'axe des abscisse, on "va jusqu'à la droite puis jusqu'à l'axe des ordonnées" pour trouver 2)

   b. 1 a 2 pour antécédent par la fonction \(g\).
   (le 1 se trouve sur l'axe des ordonnées, on "va jusqu'à la droite puis jusqu'à l'axe des abscisses" pour trouver 2)

2. Comme la courbe représentative de cette fonction est une droite qui passe par l'origine, il s'agit forcément d'une fonction linéaire. (ne pas oublier cette phrase !)
On sait donc que son expression est de la forme \(x \mapsto ax\).

Ensuite, on peut trouver sa pente de différentes façons:

• La simple lecture de l'image de 1 est un peu hasardeuse car cela ne tombe pas clairement sur des graduations.
  Mieux vaut lire l'image de 2, de 4 ou de 6 qui sont beaucoup plus claires.
  
  On trouve ensuite que dans l'expression \(x \mapsto ax\), le nombre \(a\) peut se calculer au choix par \(\frac{1}{2}\) , \(\frac{2}{4}\) ou \(\frac{3}{6}\)
  puisqu'il faut que \(2 \mapsto a\times 2 = 1\) , \(4 \mapsto a\times 4 = 2\) et \(6 \mapsto a\times 6 = 3\).
  
  
• On peut aussi chercher des points de la courbe avec des coordonnées claires comme les points (0;0), (2;1) ou encore (4;2)
  
  Je vais m'intéresser aux deux derniers: (2;1) et (4;2)
  
  L'écart horizontal entre les deux est de 2 et l'écart vertical est de 1, on obtient donc une pente de \(\frac{1}{2}\)

  

Quelque soit la méthode, on trouve que \(g:x\mapsto \frac{1}{2}x\)
(bien sûr vous pouvez aussi écrire \(g:x\mapsto 0,5x\) !)

\(g(9)=\frac{1}{2}\times 9 = \frac{9}{2}\)
une fois de plus, si vous préférez écrire que \(g(9)=4,5\), pas de problème !

L'image de 9 par \(g\) est 4,5.

(Vous avez remarqué que l'exercice parle de fonction affine et pas de fonction linéaire ?? Faisons comme si de rien n'était, j'en reparle tout à l'heure...)

1. On nous demande si le point M de coordonnées (2;0,8) appartient à la droite. Cela semble raisonnable mais difficile d'être sûr...

2. a. Les noeuds du quadrillage correspondent à ce que j'appellais plus haut "des points dont les coordonnées sont claires".

Sur cette droite il n'y en a pas beaucoup... Je vois uniquement (0;0) et (5;2).

    b. Comme nous la droite passe par (0;0), c'est à dire l'origine du repère, elle représente une fonction linéaire (donc de la forme \(x \mapsto ax\).
Et comme de plus, la droite passe par (5;2), l'image de 5 est 2.
En résolvant \(a \times 5 = 2\) on trouve que \(a=\frac{2}{5}\)   (on peut aussi le "voir" en obeservant la pente: on doit avancer de 5 cases pour monter de 2 cases).

On en conclue que \(f:x\mapsto \frac{2}{5}x\).

3. On peut maintenant vérifier par calcul notre lecture graphique du début, c'est à dire vérifier que l'image de 2 par \(f\) est (ou pas) 0,8:

\(f(2)= \frac{2}{5} \times 2 = \frac{4}{5}=0,8\)

Notre observation est bien confirmée par le calcul.