a. La fonction \(f\) multiplie le nombre \(x\) par 4 (et c'est tout). C'est une fonction linéaire.

b. La fonction \(g\) additionne 5 au nombre \(x\). Ce n'est pas une fonction linéaire.

c. La fonction \(h\) multiplie le nombre \(x\) par 3 puis soustrait 5 au résultat. Ce n'est pas une fonction linéaire.

d. La fonction \(k\) multiplie le nombre \(x\) par \(\frac{3}{7}\) (et c'est tout). C'est une fonction linéaire.

1. La représentation graphique est bien une droite qui passe par l'origine. C'est caractéristique d'une situation de proportionnalité. Elle représente donc une fonction linéaire.

Pour prendre un peu d'avance sur la suite, on peut estimer visuellement que l'image de 2 est environ 1. On peut donc en déduire que la fonction représentée divise par 2, ce qui correspond à multiplie par 0,5.
La fonction linéaire représentée est donc \(x \mapsto 0,5x\).

2. La représentation graphique est bien une droite mais celle-ci ne passe pas par l'origine du repère.

Cela implique que pour la fonction représentée, l'image de 0 n'est pas 0 (on peut lire que l'image de 0 est environ 0,5).
Une fonction qui se contente de multiplier (par n'importe quel nombre) renvoit toujours 0 quand on lui "donne" 0 en entrée.
Pour n'importe quel nombre \(a\):  \(0 \xrightarrow[~~~~~~~~~]{\times a} 0\)

Donc la fonction représentée ne peut pas être linéaire.

C'est vrai qu'en français, "linéaire" fait penser à "droite"... Mais cela ne suffit pas... Rassurez-vous: nous verrons très bientôt ce type de fonction qui va aussi nous intéresser !

1. Toutes ces fonctions sont des fonctions linéaires. Elles sont donc représentées par des droites qui passe par l'origine.

Pour trouver ces droites, il nous faut donc uniquement trouver un autre point que l'origine qui en fasse partie.

L'idée de l'exercice est que vous cherchiez à construire un tableau de valeurs (ou au moins chercher l'image d'un nombre différent de 0).

a. \(f : x \mapsto 3x\)  cette fonction multiplie par 3

Ce tableau permet d'obtenir 7 points de la droite (alors que 2 nous suffisent).

En fait, nous savions déjà que le point de coordonnées (0;0) appartiendrait à la droite (c'est l'origine du repère).

L'autre point pratique qui aurait suffit est le point de coordonnées \((1;3)\).

b. \(g : x \mapsto -x\)  cette fonction multiplie par -1

Encore une fois, l'image de 1 nous aurait suffit à trouver le point de coordonnées \((1;-1)\).

c. \(h : x \mapsto 1,5x\)  cette fonction multiplie par 1,5

Pour cette fonction, suivant ce que nous avons choisit pour l'unité des axes du repère, cela peut être plus ou moins pratique d'utiliser le point de coordonnées (1;1,5).
On pourra donc lui préférer le point de coordonnées (2;3) pour avoir des coordonnées avec des nombres entiers.

d. \(k : x \mapsto -\frac{2}{3}x\)  cette fonction multiplie par \(-\frac{2}{3}\)

Pour cette fonction, suivant ce que nous avons choisit pour l'unité des axes du repère, cela peut être plus ou moins pratique d'utiliser le point de coordonnées \((1;-\frac{2}{3})\).
On pourra donc lui préférer le point de coordonnées (3;-2) pour avoir des coordonnées avec des nombres entiers.

2. En corrigeant la question 1, j'ai déjà répondu à celle-ci:

 J'ai rajouté le cas général en dernière ligne de ce tableau.