Proportionnalité - toutes les situations ne relèvent pas de la proportionnalité !!!
Rédigé par Julien Daury
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Objectif: comprendre/reconnaitre si une situation est une situation de proportionnalité ou non.
On parle de proportionnalité quand:
- plusieurs grandeurs évoluent
- et qu'on peut calculer une grandeur en multipliant l'autre par un nombre qui ne change pas. Ce nombre s'appelle alors le coefficient de proportionnalité.
Voici trois histoires:
- On décide de donner autant de bonbons à chaque élève. Si on donne 40 bonbons pour 10 élèves, combien en donnera-t-on pour 20 élèves ?
nombre d'élèves 10 20 nombre total de bonbons 40 ? - Alain a 10 ans alors que son père en a 40. Quel âge aura son père quand Alain aura 20 ans ?
Âge du fils 10 20 Âge du père 40 ? - 10 serviettes sont étendues sur un fil à linge dans le jardin et sèchent au soleil. Elles sèchent en 40 minutes. Combien de temps mettraient 20 serviettes à sécher dans les mêmes conditions ?
nombre de serviettes 10 20 temps de séchage (min) 40 ?
Réponses:
Tous les élèves doivent avoir autant de bonbons, ils en auront 4 chacun.
En effet, le partage en parts égales des 40 bonbons nous amène à faire le calcul \(40 \div 10 = 4 \).
Et s'il doit y avoir 4 bonbons par élève, il faudra 80 bonbons pour 20 élèves (\(20\times4\)).
| nombre d'élèves | 10 | 20 |
| nombre total de bonbons |
40 | 80 |
On peut aussi réfléchir ainsi:
Assez naturellement, s'il y a 2 fois plus d'élèves (on passe de 10 à 20 élèves), on a besoin de 2 fois plus de bonbons.
Eh bien, ce n'est pas si naturel que ça ! C'est parce qu'il y a proportionnalité entre le nombre de bonbons et le nombre d'élèves qu'on peut raisonner ainsi.
En effet: comme on peut passer du nombre d'élèves au nombre de bonbons en multipliant toujours par 4, il s'agit bien d'une situation de proportionnalité et le coefficent de proportionnalité est "4 bonbons par enfant".
A tous ceux qui auront mis 80 à l'âge du père: vous êtes violents !!!
Ici, il n'est pas raisonnable de se dire que quand l'âge du fils est multiplié par 4, l'âge du père aussi (ni même quand il est multiplié par 2).
Le problème vient du fait qu'ici, il ne s'agit pas d'une situation de proportionnalité. On ne peut pas trouver une multiplication qui permet toujours de passer de l'âge du fils à l'âge du père.
La relation entre les deux âges est plutôt qu'il auront toujours le même écart d'âge (soit 30 ans). On peut donc passer de l'âge du fils à l'âge du père en ajoutant toujours 30.
| Âge du fils | 10 | 20 |
| Âge du père | 40 | 50 |
On peut aussi réfléchir ainsi:
Si le fils a 10 ans aujourd'hui, il aura 20 ans dans 10 ans. Et le père aussi aura 10 ans de plus qu'aujourd'hui, il aura donc 40+10 ans.
Ici non plus, on ne peut pas multiplier par 2 pour passer de 40 à 80 minutes.
Il faudra autant de temps pour faire sécher 20 serviettes que pour 10 (on part du principe qu'il y a assez de place sur le fil à linge et qu'elles sèchent "dans les mêmes conditions").
| nombre de serviettes | 10 | 20 |
| temps de séchage (min) | 40 | 40 |
Donc seul le premier tableau correspond à une situation de proportionnalité et le coefficient de proportionnalité est 4 (4 bonbons par élève). (pour les autres il n'existe pas de coefficient de proportionnalité par lequel multiplier une ligne pour trouver l'autre)
Attention ! Vous êtes prévenus: tous les problèmes ne sont pas des problèmes de proportionnalité !