3emes N6 Equation: correction du 76 p88 (fin)
Problème posé: Le capital d'Olivier pourra-t-il atteindre la moitié de celui de Denis ? Si oui au bout de combien de temps ? Si non, donner une preuve.
Olivier investit 40 000€
Denis investit 130 000€
La résolution de l'exercice dépend de l'interprétation de cette phrase: "Chaque année ils accroissent leur capital de 6 000€."
- Je vais partir du principe que le capital de chacun augmente de 6 000€ chaque année.
Au bout d'un an, Olivier aura donc un capital de 46 000€ et Denis de 136 000€. - On pouvait aussi penser que le capital de la société augmente de 6 000€ par an. Et dans ce cas, comment sont répartis ces 6 000€ entre les deux associés ?
- A parts égales: 3 000€ chacun par an
- Proportionellement à leur investissement: \(\frac{4}{17}\) des 6 000€ pour Olivier et \(\frac{13}{17}\) des 6 000€ pour Denis
Cela complique la première partie qui est de savoir combien chacun gange par an mais pas la suite de la résolution.
On demande s'il est possible que le capital d'Olivier atteigne la moitié de celui de Denis. Pour les premières années voilà ce que cela donne dans le cas numéro 1 (chacun augmente de 6 000€ par an):
| au bout de ... ans | 0 | 1 | 2 | ... |
| capital d'Olivier | 40 000€ | 46 000€ | 52 000€ | ... |
| capital de Denis | 130 000€ | 136 000€ | 142 000€ | ... |
| moitié du capital de Denis | 65 000€ | 68 000€ | 71 000€ | ... |
Pour résoudre le problème, on peut:
- continuer le tableau et vérifier à chaque fois si le capital d'Olivier atteint la moitié de celui de Denis (ça risque d'être long s'il s'avère que c'est impossible...)
- poser une équation du type: \(2 \times\)capital d'Olivier = capital de Denis
C'est bien cette deuxième possibilité que je corrigerai...
On pose: \(x\) le nombre d'années écoulées.
le capital d'Olivier peut s'écrire: \(6000x+40000\)
le capital de Denis peut s'écrire: \(6000x+130 000\)
\(2 \times\)capital d'Olivier = capital de Denis
peut alors se réécrire ainsi: \(2 \times(6000x+40000) = 6000x+130 000\)
\(2 \times(6000x+40000) = 6000x+130 000\)
\(12000x+80000 = 6000x+130 000\) en développant le membre de gauche
\(6000x+80000 = 130 000\) en enlevant \(6 000x\) à chaque membre de l'équation
\(6000x = 50 000\) en enlevant \(8 000\) à chaque membre de l'équation
finalement: \(x = 50 000\div6000 = \frac{50}{6}\approx 8,3\) en divisant par \(6 000\) chaque membre de l'équation
Donc oui, il est possible que le capital d'Olivier atteigne la moitié de celui de Denis puisque nous avons trouvé une solution à l'équation posée.
Cela pouvait sembler compromis au début puisqu'ils gagnent la même somme chaque année et que Denis part d'un capital plus élevé.
Un an plus tard, elles auront 2 et 5 ans. Puis 3 et 6 ans (l'âge de la petite est passé de \(\frac{1}{4}\) à \(\frac{1}{2}\) de l'âge de la grande...)
et quand elles auront 97 et 100 ans, le rapport sera passé à \(\frac{97}{100}\) et se rapprochera de plus en plus de 1 !
La valeur que nous avons trouvé pour \(x\) indique que cela arrivera entre 8 et 9 ans. Pour être plus précis: "dans la 9ème année" et même, pour être encore plus précis:
\(\frac{50}{6}=\frac{100}{12}\)
Il faudra donc \(\frac{100}{12}\) d'années pour que cela arrive, soit 100 mois.
Ou encore 8 ans et 4 mois puisque \(100 = 8 \times 12 +4\) (division euclidienne de 100 par 12... ).