3èmes - jeudi 14 mai: taux d'évolution inverse, proportionnalité
Résumé de la séance:
- enchainement d'évolutions exprimées en pourcentages
- lien avec la proportionnalité
Correction:
Exercice 1:
1) Pour trouver le taux d'évolution pour repasser à un prix de 350€ à partir du prix de 245€, on peut:
- utiliser la méthode classique: \(\frac{350}{245}\approx 1,43 \approx 143\%\) ,
comme 350€ représente environ 143% de 245€, c'est qu'il faut appliquer une augmentation de 43% pour annuler la baisse de 30%.
ou encore pour aller plus vite: \(\frac{350}{245}-1\approx 1,43 - 1 \approx 143\% - 100\% = 43\%\)
- trouver la multiplication qui revient à diviser par 0,70:
"diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse"
donc diviser par 0,70 revient à multiplier par \(\frac{1}{0,70}\approx 1,43\) (et on retombe sur nos pattes plus rapidement !)
2)
- annuler une évolution de +20%:
augmenter de 20% revient à multiplier par 1,20
pour revenir en arrière il faut diviser par 1,20, ce qui revient à multiplier par \(\frac{1}{1,20}\approx 0,83\), ce qui revient à une évolution de \(0,83-1=-0,17=-17\%\)
Finalement: \(\begin{matrix} & \begin{matrix} ~ \xrightarrow[]{~+20\%~} ~\\ ~ \xleftarrow[~~~\approx~ -\, 17\,\%~~~~~]{} ~ \end{matrix} & \\ \end{matrix}\) - annuler une évolution de -40%:
diminuer de 40% revient à multiplier par 0,60
pour revenir en arrière il faut diviser par 0,60, ce qui revient à multiplier par \(\frac{1}{0,60}\approx 1,67\), ce qui revient à une évolution de \(1,67-1=+0,67=+67\%\)
Finalement: \(\begin{matrix} & \begin{matrix} ~ \xrightarrow[]{~-40\%~} ~\\ ~ \xleftarrow[~~~\approx ~+\, 67\,\%~~~~~]{} ~ \end{matrix} & \\ \end{matrix}\)
Exercice 2:
1) Compléter ce tableau:
| ancien prix | 10€ | 20€ | 30€ | 50€ | 100€ |
| prix soldé après baisse de 20% |
Baisser de 20% revient à multiplier par 0,80. (1-20%)
Remplir ce tableau revient donc à:
- multiplier tous les nombres de la première ligne par 0,80 si on utilise la calculatrice ou un tableur
- calculer 80% de 10€ puis utiliser les propriétés d'un tableau de proportionnalité si on fait les calculs de tête
On obtient:
| ancien prix | 10€ | 20€ | 30€ | 50€ | 100€ |
| prix soldé après baisse de 20% | 8€ | 16€ | 24€ | 40€ | 80€ |
2) Représenter les données de ce tableau dans un graphique cartésien (en choisissant bien le repère).
Un repère pratique pouvait être:
- prix de départ sur l'axe des abscisses
- nouveaux prix sur l'axe des ordonnées
- échelle de 1cm pour 10€ sur chacun des deux axes
Analyse:
On observe, si les points sont bien placés, un bel alignement... et non seulement les points sont alignés, mais en plus ils sont alignés avec l'origine (le point de coordonnées (0;0)).
Cela doit vous rappeler des souvenirs de 4ème: c'est le signe d'une situation de proportionnalité.
remarques:
Cela reflète une évolution régulière des deux grandeurs l'une par rapport à l'autre:
- si le prix de départ est 2 fois plus grand, le prix soldé aussi,
s'il est 10 fois plus grand, pareil - on conserve la même proportion entre le prix soldé et le prix d'origine: \(\frac{prix~soldé}{prix~initial}=80\%\)
- en reliant les points, on obtient une droite:
- cela correspond à une fonction qui n'augmente pas de plus en plus vite, ni de moins en moins vite mais toujours à la même vitesse
oui, j'ai bien parlé de FONCTION !!!
- cela correspond à une fonction qui n'augmente pas de plus en plus vite, ni de moins en moins vite mais toujours à la même vitesse
Je continue à partir de ma dernière remarque:
la fonction qui permet de trouver le prix soldé à partir du prix de départ est la fonction qui multiplie par 0,80: c'est la fonction notée \(x \mapsto 0,8 x\).
Je vais continuer les prochaines séances à partir de ça. Mais avant vérifions que la proportionnalité n'a plus trop de secrets pour vous.
A faire:
exercices 39 à 43 de la page 148